【Edition Hujiao】Mathématiques du collège, 8e année, semestre supérieur : Propriétés des opérations sur les puissances : Établir une base solide pour la multiplication des expressions algébriques

Lorsque vous exécutez des algorithmes complexes sur le supercalculateur Tianhe-1, chaque seconde effectue environ $10^{15}$ opérations dont la logique fondamentale repose sur des opérations de puissance élémentaires. Les propriétés des opérations sur les puissances ne sont pas seulement des formules dans un manuel de mathématiques, mais constituent aussi l'algorithme fondamental utilisé en informatique pour traiter de grandes quantités de données et accéder à des tableaux multidimensionnels. Maîtriser ces règles équivaut à posséder la clé du contrôle des sauts d'échelle numérique.

Les trois propriétés fondamentales des puissances

Les propriétés des opérations sur les puissances consistent essentiellement à simplifier la « multiplication répétée » en une « addition, soustraction, multiplication ou division des exposants », permettant ainsi un saut qualitatif dans les calculs.

Propriété 1 : Multiplication de puissances de même base

Formule : $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (m, n sont des entiers positifs)

Logique : Même base, la multiplication se transforme en « addition » des exposants. C'est une extension du comptage.

Propriété 2 : Puissance d'une puissance

Formule : $(a^m)^n = a^{mn}$ (m, n sont des entiers positifs)

Logique : Un « saut » opératoire. La multiplication des exposants représente une accumulation continue des puissances.

Propriété 3 : Puissance d'un produit

Formule : $(ab)^n = a^n b^n$ (n est un entier positif)

Logique : Une « distribution équitable » des exposants. Chaque facteur à l'intérieur des parenthèses doit être élevé à la puissance.

Analyse d'exemples classiques

Puissances de même base : $x^m \cdot x^{3m+1} = x^{m + (3m+1)} = x^{4m+1}$
Puissance d'une puissance : $-(x^4)^3 = -(x^{4 \times 3}) = -x^{12}$
Puissance d'un produit : $(-2x^3)^4 = (-2)^4 \cdot (x^3)^4 = 16x^{12}$

🎯 Résumé des règles fondamentales

1. Lorsqu'on multiplie des puissances de même base, la base reste inchangée et les exposants s'additionnent.
2. Lorsqu'on élève une puissance à une autre puissance, la base reste inchangée et les exposants se multiplient.
3. La puissance d'un produit est égale au produit des puissances de chaque facteur.
Attention aux erreurs fréquentes : Toute lettre ou nombre apparaissant seul a un exposant implicite de $1$ (c'est-à-dire $a = a^1$).

QUESTION 1

Calculez : $b^5 \cdot b$.

$b^5$

$b^6$

$2b^5$

$b^{10}$

QUESTION 2

Calculez : $(-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{2})^2 \times (-\frac{1}{2})^3$.

$(1/2)^6$

$-(1/2)^6$

$(1/2)^5$

$-1/64$

QUESTION 3

Calculez : $a^2 \cdot a^6$.

$a^{12}$

$a^8$

$a^4$

$2a^8$

QUESTION 4

Calculez : $y^{2n} \cdot y^{n+1}$.

$y^{3n+1}$

$y^{2n^2+2n}$

$y^{2n+1}$

$y^{3n}$

QUESTION 5

Calculez : $(10^3)^3$.

$10^6$

$10^9$

$10^{27}$

$30^3$

QUESTION 6

Calculez : $(x^3)^2$.

$x^5$

$x^6$

$x^9$

$x^1$

QUESTION 7

Calculez : $(ab)^4$.

$ab^4$

$a^4b$

$a^4b^4$

$4ab$

QUESTION 8

Calculez : $(2ab^2)^3$.

$2a^3b^6$

$6a^3b^5$

$8a^3b^6$

$8a^3b^5$

QUESTION 9

Sachant que $2^m=a$ et $32^n=b$, calculez la valeur de $2^{3m+10n}$.

$3a + 10b$

$a^3b^2$

$a^3 + b^2$

$32ab$

QUESTION 10

Un disque flash de 8 Go a quelle capacité en octets (B) ? (Sachant que $1\text{Go} = 2^{30}\text{B}$)

$2^{33}$

$8 \times 10^9$

$2^{38}$

$2^{24}$